指算
远古时代，从人类社会开始形成的时候起，人就不可避免地要和数打交道。在茹毛饮血的原始社会，狩猎、采集野果是人类赖以生存的手段。伴随着生存斗争，自然而然地产生了“多与少”、“有与无”等最早的数学萌芽，数的概念就此应运而生了。人们对数的认识是和计数的需要分不开的。计数，应该有计数工具的帮助才不容易出错。那时候又有什么计数工具呢？
原来，人的双手就是最古老最现成的计数工具。最初，人们用一只手表示一，两只手表示二，等等。由于人类文明发展的不平衡，在澳洲的原始森林中至今还有停滞于这种发展水平的原始部落。他们一般人只知道一、二、三。即使部落中的“聪明人”，充其量也只知道四和五。再多，他们一概称之为“好多好多”。这其实就是人类远古状态的再现，可以看作是“活化石”。
随着狩猎水平的提高，接触的数也多了起来。人们觉得有必要进一步用一个手指代表一，五个手指代表五，来“一五一十”地计数。于是，数的范围得到了扩大。用手指还可以作一些简单的加减法运算呢！
用手指计数固然很方便，可是不能长时间保留，它们还得干活呀！何况，它们能表示的物体个数也很有限。我们不是常用“屈指可数”表示东西少得可怜吗？于是，有人想到了用小石块、小木块等表示数。小石块、小木块等不仅能计数，还能做简单的加减法。这无疑是一个进步。
人类从以手指计数到用物体代表数的这一历史过程，可以从幼儿身上清楚地看到它的缩影。幼儿从牙牙学语开始，就对多与少有了最初步的概念。稍大一些，父母就要教他们用手指数数了。你们可能常常会发现：如果你问幼儿园的小朋友家里有几个人，他一定会扳着小手指一个、两个、三个……认真地数给你听。直到上小学，屈指计数一直是小朋友们的“绝招”。他们进而用几块积木、几颗糖来表示东西的数量，这不就相当于用石块、木块来计数吗？
结绳计数
石块、木块等物虽然能计数，可是不太“保险”。稍不留意，一脚碰着就乱了套。于是我们的祖先又创造了一些更为牢靠的计数方法。结绳计数就是华夏祖先较早的一种创造。在世界各地区，几乎都有过结绳计数的历史。
关于结绳计数，国外有这样一则古老的传说：波斯王大理派军队去远征斯基福人，并命令他的卫队留下来保卫耶兹德河上的桥。他在皮条上拴了60个结，交给他们说：“卫队的勇士们，拿着这根皮条，并按照我说的去做：当你们知道我宣布打斯基福时，从那天起你们每天解一个结，当这些结所表示的日子都已经过去的时候，你们就可以回家啦。”南美洲秘鲁古代用于计数的绳子叫作“克维普”。他们是用龙舌兰的叶子或者驼毛做成的。没有染色的“克维普”仅用于计数，染上色的则表示一定的含意：黄色表示老玉米，红色表示武器，等等。
除结绳外，在木头或竹片上刻痕或符号也是一种常用的计数方法。我国古代名著《周易·系辞》上就有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契” 的记载。书契，其实就是一种刻痕，它们在文字出现之前就已经广泛地使用了。
原始社会的生产力低下，接触的数比较小，用这些天然或人工的简陋计数工具已经绰绰有余。随着社会的发展，这些计数工具日渐落伍，人们不得不考虑设法创造出更为先进的计数工具和运算工具了。
算盘
算盘是人人都很熟悉的计算工具，算盘的发明者是谁？准确的发明年代又是哪一年呢？从东汉时期徐岳的著作《数术记遗》中我们最早看到“珠算”这个字眼。不过，注释中说它只能做加减法。今天看来，这顶多说是算盘的一个雏形吧。从现有可靠资料分析，珠算发明于宋元时期。明代程大位的著作《直指算法统宗》（1592 年）是当时一部流传最广，影响最大的专门讲述珠算的著作。
人们查阅过大量的历史文献，从宋元时期查到程大位（1553 ～1606）所处的时代，都查找不到算盘发明人的名宇。其实，前面提到的算筹的情况也是这样，这固然表明封建统治者对科技发明不够重视，另一方面也说明它们的发明是一个渐进的过程，是逐步改进、完善的，很难说是哪一个人的功劳。珠算是由筹算进化而来的。由于社会的发展，对计算的速度和准确性要求越来越高，所以人们对筹算进行了改革，创造出各种各样的歌诀。例如14＋7 的歌诀是“七除三进一”，同样，14 —7 的歌诀是“七退一还三”等等。所有的加法、减法、乘法和除法都有一套歌诀。实际上，在珠算出现以前，除了个别的除法歌诀外，几乎全部的珠算歌诀都已齐备。
歌诀出现以后，计算速度提高了，继续摆弄算筹进行计算，就会手不从心。许多在室外进行计算的商业人员，由于客观环境的限制，尤其容易把算筹摆乱，造成错误。这样一来，珠算代替筹算成了必然的发展趋势，不仅条件已经具备，而且成了十分急需的事情。正是在这种情况下，当时的工匠、计算人员和商业人员一起，共同研制出巧妙的算盘。
算盘与算筹的相似之处显而易见。在算筹表示的数字中，一根上筹当五，一根下筹当一；而珠算盘中，档上一珠当五，档下一珠当一。筹算中有条约定叫“五不单张”，意思是5 不能单用一根筹表示，这就是算盘中档下有五珠的缘由。数学史专家还可以找到算盘中档上有两珠的筹算根据。上述事实，足以证明珠算是由筹算演变而来的。
算盘是我国古代重大科学成就之一。它具有结构简单、运算简易、携带方便等优点，因而被广泛采用，历久不衰。直到今天，珠算仍是我国小学生的必修课。尽管各种电子计算机、电子计算器在市场上已经相当普及，但作加减法时，它们的计算速度仍赶不上珠算的熟练操作者手中的算盘。珠算在中国大显身手之后，又漂洋过海，流传到朝鲜、日本、东南亚和阿拉伯，对世界文明做出了重要的贡献。
对数计算尺
本世纪70 年代前，广大的工程技术人员几乎人人都有一把模样奇特、精致美观的“尺”。这把奇妙的“尺”既不用来绘图，也不用来测量长度，而是用作计算，这就是计算尺。利用计算尺可以方便地进行乘除、乘方、开方及有关三角函数的运算。在电子计算机出现以前的百余年里，它一直是工程师们的忠实助手。
这种计算尺是利用对数原理制成的，全称应该是对数计算尺。下面，让我们介绍一下它是如何发明的。
对数的创始人是英国著名的数学家耐皮尔。
1550 年，耐皮尔出生在背山面海、景色秀丽的苏格兰爱丁堡。孩提时代的耐皮尔兴趣广泛、勤学好问、聪慧过人。他酷爱阅读自然科学方面的书，对数学的探求精神尤为突出。9 岁时，父亲常给他做航海方面的计算题，培养他的运算能力和灵活运用知识的能力。1563 年，耐皮尔刚满13 岁，就以优异的成绩读完中学全部课程，直接进入著名的圣安得鲁斯大学学习。17 岁那年，他以优等毕业生的资格被推荐派往欧洲大陆留学深造。
回国后耐皮尔致力于航海学和天文学方面的研究。在多年的工作中，他发现了对航海十分有用的球面耐皮尔比拟式，发明了作乘除运算的耐皮尔算筹。
耐皮尔一生与数字打交道，深深地感到计算是一项十分艰巨而繁难的工作，迫切需要找到一种能够简化运算的手段。经过数10 年不懈努力，已进入晚年的耐皮尔终于在1614 年创立了对数理论，对人类做出了巨大的贡献。在他之后，英国数学家布里格斯对耐皮尔的对数进行了深入的研究，最终在1624 年将它转换成实用价值很高的常用对数，并重新制作了常用对数表。利用对数，可以将乘方、开方运算化为乘除运算，将乘除运算化为加减运算，这就大大地减轻了广大科技工作者的负担。从一定意义上讲，对数延长了他们的生命。伽利略曾经说过：“给我空间、时间和对数，我就可以创造出一个宇宙。”
对数能够简化运算，但有一个缺点，就是必须经常查阅对数表。如何克服这一不足之处，使运算更为快捷呢？许多科学家又为此付出了艰辛的劳动。
英国科学家E ·冈特首先在这方面取得了突破。他在1620 年利用对数制作出世界上第一把能进行乘除等运算的计算尺。
计算尺是如何进行计算的呢？让我们先看一个最简单的，能算加减法的“计算尺”的“工作原理”吧！取两根刻度一样的学生用尺。如果要计算2＋3＝？只需将一根尺上的0 对准另一尺的2，这时这根尺的3 在另一根尺上所对的刻度就是答案。
冈特的计算尺也由两根尺构成，只是它们上面的刻度是按照对数规律刻制而成的。1 与2 之间的间隔最大，2 与3 之间的间隔长度要小一些，越往后间隔越小。现在我们要计算2 ×3＝？只需将一根尺的1 对准另一尺的2，这根尺上的3 在另一尺上所对的刻度就是答案。大家对此可能会感到惊奇，明明是两个长度相加，似乎该是求和，怎么会像变魔术似的变成了求积呢？原来，它的奥妙之处正是利用了对数的特性——将乘除运算简化为加减运算。自从冈特制成第一根对数计算尺以后，计算尺又经历了许多改进，随着社会实践的需要和工艺的革新，人们还研制出一些能用于水文、地质、土木工程等方面的专用计算尺。利用计算尺大大地减轻了工程技术人员的劳动强度。在精度要求不很高的场合，它几乎取代了人们的手工乘除运算，带来了很大的方便，直到本世纪80 年代初才逐渐被使用更方便、运算速度更快、精度更高的电子计算器所取代。
